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1994-3: Evaluate \frac { \log _{ 5 }{ 0.04 } }{ \log _{ 3 }{ 18 } -\log _{ 3 }{ 2 } }
Solution
\frac { \log _{ 5 }{ 0.04 } }{ \log _{ 3 }{ 18 } -\log _{ 3 }{ 2 } } \\ \frac { \log _{ 5 }{ \frac { 4 }{ 100 } } }{ \log _{ 3 }{ \frac { 18 }{ 2 } } } \\ \frac { \log _{ 5 }{ \frac { 1 }{ 25 } } }{ \log _{ 3 }{ 9 } } \\ \frac { \log _{ 5 }{ { 5 }^{ -2 } } }{ \log _{ 3 }{ { 3 }^{ 2 } } } \\ \frac { -2\log _{ 5 }{ 5 } }{ 2\log _{ 3 }{ 3 } } \\ \frac { -2\times 1 }{ 2\times 1 } \\ \frac { -2 }{ 2 } =-1\\
1994-4: Without using table, solve the equation 8{ x }^{ -2 }=\frac { 2 }{ 25 }
Solution
8{ x }^{ -2 }=\frac { 2 }{ 25 } \\ { x }^{ -2 }=\quad \frac { 1 }{ 100 } \\ { x }^{ -2 }={ 10 }^{ -2 }\\ x=10\\
1994-5: Simplify \sqrt { 48 } -\frac { 9 }{ \sqrt { 3 } } +\sqrt { 75 }
Solution
\sqrt { 48 } -\frac { 9 }{ \sqrt { 3 } } +\sqrt { 75 } \\ multiplying\quad through\quad by\quad \sqrt { 3 } \\ \frac { \sqrt { 144 } -9+\sqrt { 225 } }{ \sqrt { 3 } } \\ \frac { 12-9+15 }{ \sqrt { 3 } } \\ \frac { 18 }{ \sqrt { 3 } } \\ rationalizing\\ \frac { 18\sqrt { 3 } }{ 3 } \\ 6\sqrt { 3 } \\
1994-6: Given that \sqrt { 2 } =1.414, find without using tables the value of \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }
Solution
\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \times \frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 2 } } \\ \frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 4 } } \\ \frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } \\ \frac { 1.414 }{ 2 } =0.707
1994-20: Find the value of r if \log _{ 10 }{ r } +\log _{ 10 }{ { r }^{ 2 } } +\log _{ 10 }{ { r }^{ 4 }+\log _{ 10 }{ { r }^{ 8 }+\log _{ 10 }{ { r }^{ 16 }+\log _{ 10 }{ { r }^{ 32 }=63 } } } }
Solution
\log _{ 10 }{ r } +\log _{ 10 }{ { r }^{ 2 } } +\log _{ 10 }{ { r }^{ 4 }+\log _{ 10 }{ { r }^{ 8 }+\log _{ 10 }{ { r }^{ 16 }+\log _{ 10 }{ { r }^{ 32 }=63 } } } } \\ log_{ 10 }{ (r\times { r }^{ 2 } }\times { r }^{ 4 }\times { r }^{ 8 }\times { r }^{ 16 }\times { r }^{ 32 })=63\\ log_{ 10 }{ { r }^{ (1+2+4+8+16+32) }=63 }\\ log_{ 10 }{ { r }^{ 63 } }=63\\ { r }^{ 63 }={ 10 }^{ 63 }\\ r=10
1995-6: Find the value of x, if \frac { \sqrt { 2 } }{ x+\sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ x-\sqrt { 2 } }
Solution
\frac { \sqrt { 2 } }{ x+\sqrt { 2 } } =\frac { 1 }{ x-\sqrt { 2 } } \\ x+\sqrt { 2 } =\sqrt { 2 } (x-\sqrt { 2 } )\\ x+\sqrt { 2 } =x\sqrt { 2 } -2\\ x-x\sqrt { 2 } =-2-\sqrt { 2 } \\ x(1-\sqrt { 2 } )=-2-\sqrt { 2 } \\ x=\quad \frac { -2-\sqrt { 2 } }{ 1-\sqrt { 2 } } \\ x=\quad \frac { -2-\sqrt { 2 } }{ 1-\sqrt { 2 } } \times \frac { 1+\sqrt { 2 } }{ 1+\sqrt { 2 } } \\ x=\quad \frac { -2(1+\sqrt { 2 } )-\sqrt { 2 } (1+\sqrt { 2 } ) }{ 1(1+\sqrt { 2 } )-\sqrt { 2 } (1+\sqrt { 2 } ) } \\ x=\quad \frac { -2-2\sqrt { 2 } -\sqrt { 2 } -2 }{ 1+\sqrt { 2 } -\sqrt { 2 } -2 } \\ x=\quad \frac { -2-2-2\sqrt { 2 } -\sqrt { 2 } }{ 1-2 } \\ x=\quad \frac { -4-3\sqrt { 2 } }{ -1 } \\ x=-1(-4-3\sqrt { 2 } )\\ x=4+3\sqrt { 2 } \\ \\ \\
1999-8: If \frac { { ({ a }^{ 2 }{ b }^{ -3 }{ c }) }^{ \frac { 3 }{ 4 } } }{ { a }^{ -1 }{ b }^{ 4 }{ c }^{ 5 } } ={ a }^{ p }{ b }^{ q }{ c }^{ r }. What is the value of p+2q
Solution
\frac { { ({ a }^{ 2 }{ b }^{ -3 }{ c }) }^{ \frac { 3 }{ 4 } } }{ { a }^{ -1 }{ b }^{ 4 }{ c }^{ 5 } } \\ \frac { { { a }^{ 2\times \frac { 3 }{ 4 } }\times { b }^{ -3\times \frac { 3 }{ 4 } }\times { { c }^{ \frac { 3 }{ 4 } } } } }{ { a }^{ -1 }\times { b }^{ 4 }{ \times c }^{ 5 } } \\ \\ \frac { { { a }^{ \frac { 3 }{ 2 } }\times { b }^{ \frac { -9 }{ 4 } }\times { { c }^{ \frac { 3 }{ 4 } } } } }{ { a }^{ -1 }\times { b }^{ 4 }{ \times c }^{ 5 } } \\ \frac { { a }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ { a }^{ -1 } } \times \frac { { b }^{ \frac { -9 }{ 4 } } }{ { b }^{ 4 } } \times \frac { { c }^{ \frac { 3 }{ 4 } } }{ { c }^{ 5 } } \\ { a }^{ \frac { 3 }{ 2 } +1 }\times { b }^{ \frac { -9 }{ 4 } -4 }\times { c }^{ \frac { 3 }{ 4 } -5 }\\ { a }^{ \frac { 5 }{ 2 } }\times { b }^{ \frac { -25 }{ 4 } }\times { c }^{ \frac { -17 }{ 4 } }\\ Comparing\quad with\quad { a }^{ p }{ b }^{ q }{ c }^{ r }\\ p=\frac { 5 }{ 2 } ,q=\frac { -25 }{ 4 } ,r=\frac { -17 }{ 4 } \\ herefore\quad p+2q=\frac { 5 }{ 2 } +2(\frac { -25 }{ 4 } )\\ \quad p+2=-10\\
2001-4: Simplify { (\sqrt [ 3 ]{ 64{ a }^{ 3 } } ) }^{ -1 }
Solution
{ (\sqrt [ 3 ]{ 64{ a }^{ 3 } } ) }^{ -1 }\\ { (\sqrt [ 3 ]{ 64 } { \times \sqrt [ 3 ]{ { a }^{ 3 } } }) }^{ -1 }\\ { (4a) }^{ -1 }\\ \frac { 1 }{ 4a }
2001-6: Given that p=1+\sqrt { 2 } and q=1-\sqrt { 2 } , evaluate \frac { { p }^{ 2 }-{ q }^{ 2 } }{ 2pq }
Solution
\\ \frac { { (1+\sqrt { 2 } })^{ 2 }-{ (1-\sqrt { 2 } ) }^{ 2 } }{ 2(1+\sqrt { 2 } )(1-\sqrt { 2 } ) } \\ \\ \frac { { (1+\sqrt { 2 } }){ (1+\sqrt { 2 } })-{ (1-\sqrt { 2 } ) }{ (1-\sqrt { 2 } ) } }{ 2[(1(1-\sqrt { 2 } )+\sqrt { 2 } (1-\sqrt { 2 } )] } \\ \frac { { 1{ (1+\sqrt { 2 } })+\sqrt { 2 } }{ (1+\sqrt { 2 } })-{ [1(1-\sqrt { 2 } )-\sqrt { 2 } }{ (1-\sqrt { 2 } )] } }{ 2(1-\sqrt { 2 } +\sqrt { 2 } -2) } \\ \frac { { { 1+\sqrt { 2 } }+\sqrt { 2 } }{ +2 }-{ (1-\sqrt { 2 } -\sqrt { 2 } }{ +2) } }{ 2(1-2) } \\ \frac { 3+2\sqrt { 2 } -1+{ \sqrt { 2 } +\sqrt { 2 } }{ -2 } }{ 2(-1) } \\ \frac { 4\sqrt { 2 } }{ -2 } \\ -2\sqrt { 2 }
2002-2: Without using tables, evaluate { 343 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\times { 0.14 }^{ -1 }{ \times 25 }^{ \frac { -1 }{ 2 } }
Solution
{ 343 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\times { 0.14 }^{ -1 }{ \times 25 }^{ \frac { -1 }{ 2 } }\\ \sqrt [ 3 ]{ 343 } \times { (\frac { 14 }{ 100 } ) }^{ -1 }\times \frac { 1 }{ \sqrt { 25 } } \\ 7\times \frac { 100 }{ 14 } \times \frac { 1 }{ 5 } \\ 10
2003-3: Simplify \frac { \sqrt { 98 } -\sqrt { 50 } }{ \sqrt { 32 } }
Solution
\frac { \sqrt { 98 } -\sqrt { 50 } }{ \sqrt { 32 } } \\ \frac { \sqrt { 98 } -\sqrt { 50 } }{ \sqrt { 32 } } \times \frac { \sqrt { 32 } }{ \sqrt { 32 } } \\ \frac { \sqrt { 98\times 32 } -\sqrt { 50\times 32 } }{ 32 } \\ \frac { \sqrt { 3136 } -\sqrt { 1600 } }{ 32 } \\ \frac { 56-40 }{ 32 } \\ \frac { 16 }{ 32 } \\ \frac { 1 }{ 2 }
2003-9: Evaluate \log _{ \sqrt { 2 } }{ 4 } +\log _{ \frac { 1 }{ 2 } }{ 16 } -\log _{ 4 }{ 32 }
Solution
\log _{ \sqrt { 2 } }{ 4 } +\log _{ \frac { 1 }{ 2 } }{ 16 } -\log _{ 4 }{ 32 } \\ using\quad change\quad of\quad base,\\ \frac { \log _{ 2 }{ 4 } }{ \log _{ 2 }{ \sqrt { 2 } } } +\frac { \log _{ 2 }{ 16 } }{ \log _{ 2 }{ \frac { 1 }{ 2 } } } -\frac { \log _{ 2 }{ 32 } }{ \log _{ 2 }{ 4 } } \\ \frac { \log _{ 2 }{ { 2 }^{ 2 } } }{ \log _{ 2 }{ { 2 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } } +\frac { \log _{ 2 }{ { 2 }^{ 4 } } }{ \log _{ 2 }{ { 2 }^{ -1 } } } -\frac { \log _{ 2 }{ { 2 }^{ 5 } } }{ \log _{ 2 }{ { 2 }^{ 2 } } } \\ \frac { 2\log _{ 2 }{ 2 } }{ \frac { 1 }{ 2 } \log _{ 2 }{ 2 } } +\frac { 4\log _{ 2 }{ 2 } }{ -1\log _{ 2 }{ 2 } } -\frac { 5\log _{ 2 }{ 2 } }{ 2\log _{ 2 }{ 2 } } \\ \frac { 2 }{ \frac { 1 }{ 2 } } +\frac { 4 }{ -1 } -\frac { 5 }{ 2 } \\ 4-4-\frac { 5 }{ 2 } \\ -\frac { 5 }{ 2 }
2004-6: Given that \sqrt [ 3 ]{ { 4 }^{ 2x } } =16, find the value of x
Solution
\sqrt [ 3 ]{ { 4 }^{ 2x } } =16\\ { 4 }^{ 2x }={ 16 }^{ 3 }\\ { 4 }^{ 2x }=({ { 4 }^{ 2 }) }^{ 3 }\\ { 4 }^{ 2x }={ { 4 }^{ 6 } }\\ 2x=6\\ x=3
2004-7: Simplify \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } -2 }
Solution
\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } +2 } \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } +2 } \times \frac { \sqrt { 3 } -2 }{ \sqrt { 3 } -2 } \\ \frac { \sqrt { 3 } -2 }{ \sqrt { 3 } (\sqrt { 3 } -2)+2(\sqrt { 3 } -2) } \\ \frac { \sqrt { 3 } -2 }{ 3-2\sqrt { 3 } +2\sqrt { 3 } -4 } \\ \frac { \sqrt { 3 } -2 }{ 3-4 } \\ \frac { \sqrt { 3 } -2 }{ -1 } \\ 2-\sqrt { 3 } \\
2004-8: If 6\log _{ x }{ 2 } -3\log _{ x }{ 3 } =3\log _{ 5 }{ 0.2 } , Find x
Solution
6\log _{ x }{ 2 } -3\log _{ x }{ 3 } =3\log _{ 5 }{ 0.2 } \\ \log _{ x }{ { 2 }^{ 6 }-\log _{ x }{ { 3 }^{ 3 }=3\log _{ 5 }{ \frac { 2 }{ 10 } } } } \\ \log _{ x }{ \frac { { 2 }^{ 6 } }{ { 3 }^{ 3 } } } =3\log _{ 5 }{ \frac { 1 }{ 5 } } \\ \log _{ x }{ \frac { { 2 }^{ 6 } }{ { 3 }^{ 3 } } } =3\log _{ 5 }{ { 5 }^{ -1 } } \\ \log _{ x }{ \frac { { 2 }^{ 6 } }{ { 3 }^{ 3 } } } =-3\log _{ 5 }{ 5 } \\ \log _{ x }{ \frac { { 2 }^{ 6 } }{ { 3 }^{ 3 } } } =-3\\ { x }^{ -3 }=\frac { { { (2 }^{ 2 } })^{ 3 } }{ { 3 }^{ 3 } } \\ { x }^{ -3 }=\frac { 4^{ 3 } }{ { 3 }^{ 3 } } \\ { x }^{ 3 }=\frac { 3^{ 3 } }{ { 4 }^{ 3 } } \\ x=\frac { 3 }{ 4 } \\ \\
2005-7: Evaluate \frac { { 81 }^{ \frac { 3 }{ 4 } }-{ 27 }^{ \frac { 1 }{ 3 } } }{ 3\times { 2 }^{ 3 } }
Solution
\frac { { 81 }^{ \frac { 3 }{ 4 } }-{ 27 }^{ \frac { 1 }{ 3 } } }{ 3\times { 2 }^{ 3 } } \\ \frac { ({ \sqrt [ 4 ]{ 81 } ) }^{ 3 }-\sqrt [ 3 ]{ 27 } }{ 3\times { 2 }^{ 3 } } \\ \frac { { 3 }^{ 3 }-3 }{ 3\times 8 } \Rightarrow \frac { 27-3 }{ 24 } \\ \frac { 24 }{ 24 } =1
2005-8: If \log _{ 10 }{ 2 } =0.3010 and \log _{ 10 }{ 3 } =0.4771, evaluate \log _{ 10 }{ 4.5 }
Solution
\log _{ 10 }{ 4.5 } =\log _{ 10 }{ \frac { 3\times 3 }{ 2 } } \\ \log _{ 10 }{ 3 } +\log _{ 10 }{ 3 } -\log _{ 10 }{ 2 } \\ 0.4771+0.4771+0.3010=0.6532
2005-9: Simplify \frac { \sqrt { 12 } -\sqrt { 3 } }{ \sqrt { 12 } +\sqrt { 3 } }
Solution
\frac { \sqrt { 12 } -\sqrt { 3 } }{ \sqrt { 12 } +\sqrt { 3 } } \times \frac { \sqrt { 12 } -\sqrt { 3 } }{ \sqrt { 12 } -\sqrt { 3 } } \\ \frac { \sqrt { 12 } (\sqrt { 12 } -\sqrt { 3 } )-\sqrt { 3 } (\sqrt { 12 } -\sqrt { 3 } ) }{ \sqrt { 12 } (\sqrt { 12 } -\sqrt { 3 } )+\sqrt { 3 } (\sqrt { 12 } -\sqrt { 3 } ) } \\ \frac { 12-\sqrt { 36 } -\sqrt { 36 } +3 }{ 12-\sqrt { 36 } +\sqrt { 36 } -3 } \\ \frac { 15-6-6 }{ 9 } \\ \frac { 3 }{ 9 } =\frac { 1 }{ 3 }
2006-35: Simplify { 25 }^{ \frac { -1 }{ 2 } }\times { 27 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }+{ 121 }^{ \frac { -1 }{ 2 } }\times { 625 }^{ \frac { -1 }{ 4 } }
Solution
{ 25 }^{ \frac { -1 }{ 2 } }\times { 27 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }+{ 121 }^{ \frac { -1 }{ 2 } }\times { 625 }^{ \frac { -1 }{ 4 } }\\ \frac { 1 }{ \sqrt { 25 } } \times \sqrt [ 3 ]{ 27 } +\frac { 1 }{ \sqrt { 121 } } \times \frac { 1 }{ \sqrt [ 4 ]{ 625 } } \\ \frac { 1 }{ 5 } \times 3+\frac { 1 }{ 11 } \times \frac { 1 }{ 5 } \\ \frac { 3 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 55 } =\frac { 34 }{ 55 } \\
2006-37: Calculate the logarithm to base 9 of { 3 }^{ -4 }{ \times 9 }^{ 2 }{ \times 81 }^{ -1 }
Solution
\log _{ 9 }{ ({ 3 }^{ -4 }{ \times 9 }^{ 2 }{ \times 81 }^{ -1 }) } \\ \log _{ 9 }{ { 3 }^{ -4 }+ } \log _{ 9 }{ { 9 }^{ 2 } } \log _{ 9 }{ { 81 }^{ -1 } } \\ \log _{ 9 }{ { { (9 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } })^{ -4 }+ } \log _{ 9 }{ { 9 }^{ 2 } } \log _{ 9 }{ { ({ 9 }^{ 2 }) }^{ -1 } } \\ \log _{ 9 }{ 9^{ -2 }+ } \log _{ 9 }{ { 9 }^{ 2 } } \log _{ 9 }{ { 9 }^{ -2 } } \\ -2\log _{ 9 }{ 9+ } 2\log _{ 9 }{ 9-2\log _{ 9 }{ 9 } } \\ -2\log _{ 9 }{ 9 } =-2
2006-42: Rationalize \frac { 2 }{ 6-5\sqrt { 3 } }
Solution
\frac { 2 }{ 6-5\sqrt { 3 } } \\ \frac { 2 }{ 6-5\sqrt { 3 } } \times \frac { 6+5\sqrt { 3 } }{ 6+5\sqrt { 3 } } \\ \frac { 2(6+5\sqrt { 3 } ) }{ 36-75 } \\ \frac { 12+10\sqrt { 3 } }{ -39 } \\ \frac { -12-10\sqrt { 3 } }{ 39 } \\
2007-43: Find the value of x for which 2({ 3 }^{ 2x-1 })=162
Solution
2({ 3 }^{ 2x-1 })=162\\ { 3 }^{ 2x-1 }=81\\ { 3 }^{ 2x-1 }={ 3 }^{ 4 }\\ 2x-1=4\\ 2x=5\\ x=\frac { 5 }{ 2 }
2007-45: Find y, if \sqrt { 12 } -\sqrt { 147 } +y\sqrt { 3 } =0
Solution
\sqrt { 12 } -\sqrt { 147 } +y\sqrt { 3 } =0\\ \sqrt { 4\times 3 } -\sqrt { 49\times 3 } +y\sqrt { 3 } =0\\ 2\sqrt { 3 } -7\sqrt { 3 } +y\sqrt { 3 } =0\\ y\sqrt { 3 } -5\sqrt { 3 } =0\\ y\sqrt { 3 } =5\sqrt { 3 } \\ by\quad comparism\\ y=5
2008-8: If \log _{ 10 }{ 2 } =x, express \log _{ 10 }{ 12.5 } in terms of x
Solution
\log _{ 10 }{ 12.5 } \\ \log _{ 10 }{ \frac { 100 }{ 8 } } \\ \log _{ 10 }{ 100 } -\log _{ 10 }{ 8 } \\ \log _{ 10 }{ { 10 }^{ 2 } } -\log _{ 10 }{ { 2 }^{ 3 } } \\ 2\log _{ 10 }{ 10 } -3\log _{ 10 }{ 2 } \\ remember\quad \log _{ 10 }{ 2 } =x\\ 2-3x\\ \log _{ 10 }{ 12.5 } =2-3x
2008-8: If \log _{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ 64 } =3, find the value of x
Solution
\log _{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ 64 } =3\\ { { (x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }) }^{ 3 }=64\\ { x }^{ \frac { 3 }{ 2 } }=64\\ x={ 64 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\\ x=16
2008-9: If \frac { 1+\sqrt { 2 } }{ 1-\sqrt { 2 } } is expressed in the form x+y\sqrt { 2 } , find the values of x and y
Solution
\frac { 1+\sqrt { 2 } }{ 1-\sqrt { 2 } } \times \frac { 1+\sqrt { 2 } }{ 1+\sqrt { 2 } } \\ \frac { 1(1+\sqrt { 2 } )+\sqrt { 2 } (1+\sqrt { 2 } ) }{ 1(1+\sqrt { 2 } )-\sqrt { 2(1+\sqrt { 2 } ) } } \\ \frac { 1+\sqrt { 2 } +\sqrt { 2 } +2 }{ 1+\sqrt { 2 } -\sqrt { 2 } -2 } \\ \frac { 3+\sqrt { 2 } }{ 1-2 } \\ \frac { 3+\sqrt { 2 } }{ -1 } \\ -3-\sqrt { 2 } \\ Comparing\quad to\quad x+y\sqrt { 2 } \\ x=-3,\quad y=-2
2009-7: Solve { 5 }^{ 2(x-1) }\times { 5 }^{ x+1 }=0.04
Solution
{ 5 }^{ 2(x-1) }\times { 5 }^{ x+1 }=0.04\\ { 5 }^{ 2{ x }-2 }\times { 5 }^{ x+1 }=\frac { 4 }{ 100 } \\ { 5 }^{ 2x-2+x+1 }=\frac { 1 }{ 25 } \\ { 5 }^{ 3x-1 }={ 5 }^{ -2 }\\ 3x-1=-2\\ 3x=-1\\ x=\frac { 1 }{ 3 } \\
2009-8: If \log _{ 10 }{ 2=0.3010 } and \log _{ 10 }{ 7=0.8451 } , evaluate \log _{ 10 }{ 280 }
Solution
\log _{ 10 }{ 280 } =\log _{ 10 }{ (2\times 2\times 7\times 10) } \\ \log _{ 10 }{ 2 } +\log _{ 10 }{ 2+\log _{ 10 }{ 7 } +\log _{ 10 }{ 10 } } \\ 0.3010+0.3010+0.8451+1\\ \log _{ 10 }{ 280 } =2.4471
2009-9: Simplify \frac { 5+\sqrt { 7 } }{ 3+\sqrt { 7 } }
Solution
\frac { 5+\sqrt { 7 } }{ 3+\sqrt { 7 } } \times \frac { 3-\sqrt { 7 } }{ 3-\sqrt { 7 } } \\ \frac { 5(3-\sqrt { 7 } )+\sqrt { 7 } (3-\sqrt { 7 } ) }{ 3(3-\sqrt { 7 } )+\sqrt { 7 } (3-\sqrt { 7 } ) } \\ \frac { 15-5\sqrt { 7 } +3\sqrt { 7 } -7 }{ 9-3\sqrt { 7 } +3\sqrt { 7 } -7 } \\ \frac { 8-2\sqrt { 7 } }{ 2 } \\ \frac { 2(4-\sqrt { 7 } ) }{ 2 } \\ 4-\sqrt { 7 }
2010-7: Evaluate { (\frac { 81 }{ 16 } })^{ \frac { -1 }{ 4 } }\times { 2 }^{ -1 }\\
Solution
{ (\frac { 81 }{ 16 } })^{ \frac { -1 }{ 4 } }\times { 2 }^{ -1 }\\ { (\frac { 16 }{ 81 } })^{ \frac { 1 }{ 4 } }\times \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { \sqrt [ 4 ]{ 16 } }{ \sqrt [ 4 ]{ 81 } } \times \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 2 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 2 } \\ \frac { 1 }{ 3 } \\ \\
2010-8: Given that \log { 2 } =0.3010,\log { 7=0.8451 } . Evaluate \log { 112 }
Solution
\log { 112 } =\log { (2\times 2\times 2\times 2\times 7) } \\ \log { 2 } +\log { 2 } +\log { 2 } +\log { 2 } +\log { 7 } \\ 0.3010+0.3010+0.3010+0.3010+0.8451\\ \log { 112 } =2.0491
2010-9: Rationalize \frac { 2\sqrt { 3 } +\sqrt { 5 } }{ \sqrt { 5 } -\sqrt { 3 } }
Solution
\frac { 2\sqrt { 3 } +\sqrt { 5 } }{ \sqrt { 5 } -\sqrt { 3 } } \times \frac { \sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } }{ \sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } } \\ \frac { 2\sqrt { 3 } (\sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } )+\sqrt { 5 } (\sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } ) }{ \sqrt { 5 } (\sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } )-\sqrt { 3 } (\sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } ) } \\ \frac { 2\sqrt { 15 } +2(3)+5+\sqrt { 15 } }{ 5+\sqrt { 15 } -\sqrt { 15 } -3 } \\ \frac { 3\sqrt { 15 } +6+5 }{ 5-3 } \\ \frac { 11+3\sqrt { 15 } }{ 2 }
2011-6: Simplify { (\frac { 16 }{ 81 } ) }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\div { (\frac { 9 }{ 16 } })^{ \frac { -1 }{ 2 } }
Solution
{ (\frac { 16 }{ 81 } ) }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\div { (\frac { 9 }{ 16 } })^{ \frac { -1 }{ 2 } }\\ \frac { \sqrt [ 4 ]{ 16 } }{ \sqrt [ 4 ]{ 81 } } \div { (\frac { 16 }{ 9 } ) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\\ \frac { 2 }{ 3 } \div \frac { \sqrt { 16 } }{ \sqrt { 9 } } \\ \frac { 2 }{ 3 } \div \frac { 4 }{ 3 } \\ \frac { 2 }{ 3 } \times \frac { 3 }{ 4 } \\ \frac { 1 }{ 2 }
2011-7: If \log _{ 3 }{ 18 } +\log _{ 3 }{ 3 } -\log _{ 3 }{ x } =3, find x
Solution
\log _{ 3 }{ 18 } +\log _{ 3 }{ 3 } -\log _{ 3 }{ x } =3\\ \log _{ 3 }{ 18 } +1-\log _{ 3 }{ x } =3\\ \log _{ 3 }{ \frac { 18 }{ x } } =3-1\\ \log _{ 3 }{ \frac { 18 }{ x } } =2\\ \frac { 18 }{ x } ={ 3 }^{ 2 }\\ \frac { 18 }{ x } =9\\ x=2
That’s the much we can take on this. If you have any question on this topic or related to mathematics, feel free to use the comment session. Be rest assured, there are mathematicians here. Also, notify us if you see any errors in the solutions above. Kindly share.
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